A Teoria de Matrizes Aleatórias (
Random Matrix Theory - RMT) pode ser utilizada em finanças com o intuito de "filtrar" o ruído presente nas estimativas das estatísticas de interesse como covariâncias e correlações. Essa abordagem tem se mostrado superior a otimização clássica de portifólios como sugerido por
Daly, Crane e Ruskin (2007).
Teoria de Matrizes Aleatórias foi inicialmente desenvolvido por
Dyson (1962) com o intuito de explicar os níveis de energia de núcleos complexos e tem sido amplamente utilizada no filtro do "ruído" presente em séries temporais financeiras, especialmente em sistemas de grandes dimensões como os mercados de ações.
A ideia é que uma vez que o número de observações e variabilidade são altas nos dados financeiros, as estimativas produzidas para a matriz de variâncias e covariâncias entre os retornos financeiros dos ativos está permeada de ruído e assim, o "verdadeiro" parâmetro pode estar mascarado, fornecendo portfólios sub-ótimos.
Assuma que as matrizes de correlação de variâncias e covariância podem ser expressas da seguinte forma:
$\mathbf{R}=\frac{1}{T}\mathbf{A}\mathbf{A}^{'}$
onde $A$ é uma matriz cujos elementos são independentes e identicamente distribuídos segundo uma $N(0,\sigma^{2})$, então
Sengupta e Mitra (1999) mostraram que quando $N\rightarrow\infty$ e $T\rightarrow\infty$ tal que $Q=T/N\geq 1$ é fixado então a distribuição dos
autovalores de $\mathbf{R}$ é dada por:
$P(\lambda)=\frac{Q}{2\pi\sigma^{2}}\frac{\sqrt{(\lambda_{+}-\lambda)(\lambda-\lambda_{-})}}{\lambda}$ se $\lambda_{-}\le\lambda\le\lambda_{+}$
onde $\sigma^{2}$ é a variância dos elementos de $\mathbf{A}$ e $\lambda_{\pm}=\sigma^{2}(1+1/Q \pm \sqrt{1/Q})$.
Nesse caso, as matrizes de dados históricos podem ser comparadas com as gerados a partir de retornos aleatórios. Então, somente os
autovalores maiores ou iguais a $\lambda_{+}$ conteriam "informação" sobre o Mercado.
Considere os dados:
#Limpa o Workspace
rm(list=ls())
#Habilita o pacote quantmod
library(quantmod)
#Início do período de interesse
inicio = as.Date("2011-01-01")
#Fim do período de interesse
fim = as.Date("2012-12-31")
#Ativos
ativos<-c("AMBV4.SA","BBAS3.SA","BBDC4.SA","BISA3.SA","BRFS3.SA","BRKM5.SA","BTOW3.SA","BVMF3.SA","CESP6.SA","CIEL3.SA","CMIG4.SA","CPLE6.SA","CRUZ3.SA","CSAN3.SA","CSNA3.SA","CYRE3.SA","ELET3.SA","ELET6.SA","ELPL4.SA","EMBR3.SA","LIGT3.SA","LREN3.SA","MRFG3.SA","NATU3.SA","PCAR4.SA","PDGR3.SA","PETR3.SA","PETR4.SA","RDCD3.SA","RSID3.SA","SANB11.SA","TIMP3.SA","TRPL4.SA","UGPA3.SA","USIM3.SA","USIM5.SA","VALE3.SA","VALE5.SA")
#Força downloads no Yahoo Finance.
getSymbolsCont <-
function(tickers, from=NULL, to=Sys.Date(), src="yahoo") {
ok = FALSE
n = length(tickers)
i = 1
while(i <= n | !ok) {
print(tickers[i])
sym = NULL
try ( sym <- getSymbols(tickers[i], from=from, to=to, src=src,
auto.assign=FALSE))
if(!is.null(sym)) {
assign(tickers[i], sym, envir = .GlobalEnv)
i = i+1
ok=TRUE
} else {ok=FALSE}
Sys.sleep(1)
}
}
#Obtêm os dados
series.env <- new.env()
getSymbolsCont(ativos, src="yahoo",from=inicio,to=fim)
#Une os dados
dados <- merge(AMBV4.SA,BBAS3.SA,BBDC4.SA,BISA3.SA,BRFS3.SA,BRKM5.SA,BTOW3.SA,BVMF3.SA,CESP6.SA,CIEL3.SA,CMIG4.SA,CPLE6.SA,CRUZ3.SA,CSAN3.SA,CSNA3.SA,CYRE3.SA,ELET3.SA,ELET6.SA,ELPL4.SA,EMBR3.SA,LIGT3.SA,LREN3.SA,MRFG3.SA,NATU3.SA,PCAR4.SA,PDGR3.SA,PETR3.SA,PETR4.SA,RDCD3.SA,RSID3.SA,SANB11.SA,TIMP3.SA,TRPL4.SA,UGPA3.SA,USIM3.SA,USIM5.SA,VALE3.SA,VALE5.SA)
#Dados Closing Price
dados.Cl<-Cl(dados)
#Calcula o log-retorno
dados.Cl<-na.omit(apply(dados.Cl,2,function(x) diff(log(x))))
head(dados.Cl)
O próximo passo é construir a matriz de variâncias e covariância para os dados:
#Matriz de variâncias e covariâncias
R<-nrow(dados.Cl)*as.matrix(cov(dados.Cl))
Em seguida precisamos calcular $\lambda_{+}=\sigma^{2}(1+1/Q + \sqrt{1/Q})$:
#Lambda máximo
A<-as.numeric(chol(R))
A<-A[which(A>0)]
sigma2<-var(A)
Q<-nrow(dados.Cl)/ncol(dados.Cl)
lambda.p<-sigma2*(1+1/Q + sqrt(1/Q))
Nesse caso, fica evidente que há autovalores que são "ruídos" e autovalores "informativos".
Laloux et. al. (2000) sugerem a seguinte abordagem:
1 - Calcule a matriz diagonal de autovalores da matriz de variâncias e covariâncias usando decomposição espectral. Nessa primeira etapa, a matriz de variâncias e covariâncias $\mathbf{V}$ pode ser escrita como $\mathbf{V}=\mathbf{E}\mathbf{\Lambda} \mathbf{E}^{-1}$, no R podemos fazer:
#Decomposição espectral
r <- eigen(R)
E <- r[[2]]
Lambda <- diag(r[[1]])
hist(r[[1]])
abline(v=lambda.p,col=3,lty=3)
which(r[[1]] < lambda.p)
2 - Na matriz $\mathbf{\Lambda}$ substitua os autovalores "ruído", ou seja, aqueles que são inferiores a $\lambda_{+}$ pela média de todos os autovalores "ruído" e mantenha os autovalores "informativos" os mesmos. Realizando essa etapa no R temos:
#Lambda Ruídos
iLambdas<-which(r[[1]] < lambda.p)
lambda.medio<-mean(r[[1]][iLambdas])
lambda.filtered<-r[[1]]
lambda.filtered[iLambdas]<-lambda.medio
Lambda.filtered<-diag(lambda.filtered)
3 - A matriz $\mathbf{\Lambda}_{filtrado}$ obtida no passo anterior é combinada novamente por meio da decomposição espectral na forma $\mathbf{V}_{filtrado}=\mathbf{E}\mathbf{\Lambda}_{filtrado} \mathbf{E}^{-1}$. Note que nessa abordagem o
traço da matriz $\mathbf{V}_{filtrado}$ é igual a $\mathbf{V}$.
#Encontra a matriz de variâncias e covariâncias filtrada
R.filtered<-E%*%Lambda.filtered%*%solve(E)
4 - Constrói-se as carteiras usando então a matriz $\mathbf{V}_{filtrado}$. Nesse caso desejamos obter os pesos: $w_{i}=\frac{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\sigma_{ij}^{-1}}{\displaystyle\sum_{j,k}\sigma_{jk}^{-1}}$
que minimizam $\mbox{Min }W = \displaystyle\sum_{i,j}w_{i}w_{j}\sigma_{ij}$
onde $\sum_{i=1}^{n}w_{i}=1$ e $\mathbf{V}_{filtrado}^{-1}=\{\sigma_{ij}^{-1}\}$.
#Pesos para os ativos
R.inv<-solve(R.filtered)
pesos<-apply(R.inv,1,function(x)sum(x)/sum(R.inv))
pesos<-cbind(pesos,colnames(dados.Cl))
Abordagem de Plerou.
Plerou et. al. (2002) sugerem ao invés de substituir pela média os autovalores "ruído", substituir simplesmente por zero, e após obter a matriz filtrada na forma: $\mathbf{V}_{filtrado}=\mathbf{E}\mathbf{\Lambda}_{filtrado} \mathbf{E}^{-1}$
Corrigir a diagonal de $\mathbf{V}_{filtrado}$ na forma: $\mbox{diag}(\mathbf{V}_{filtrado})=\mbox{diag}(\mathbf{V})$
