Programação Linear no R.

A programação linear possui muitas aplicações nas Ciências Sociais e Exatas.

Nesse post mostrarei como solucionar problemas de programação linear no R por meio da biblioteca lpSolveAPI.

Considere o seguinte problema de programação linear:

O primeiro passo no R para a resolução desse problema é invocar a biblioteca lpSolveAPI, para isso utilizamos o seguinte comando:

#Chama a biblioteca
library(lpSolveAPI)

Como o problema possui somente duas variáveis vamos criá-lo com o nome de modelo.lp1 inicialmente sem nenhuma restrição:

#Define a criação de um modelo com 0 restrições e 2 variáveis
modelo.lp1 <- make.lp(0, 2)

#Dá o nome ao problema de programação linear
name.lp(modelo.lp1, "Exemplo 1 - Aula de MMQD 1")

Note que o comando make.lp recebe dois argumentos, o primeiro informa quantas restrições existem no problema e o segundo quantas variáveis. Inicialmente, colocamos zero restrições pois iremos adicioná-las dinamicamente nos próximos passos. Já o comando name.lp recebe dois argumentos, o primeiro argumento é o objeto modelo.lp1 que nós criamos e o segundo é o nome (ou descrição) do problema. Uma vez definida as principais características do problema de programação linear precisamos definir o domínio das variáveis e o tipo de problema (maximização ou minimização). Como nosso problema é um problema de maximação, escrevemos:

#Define as características do modelo
lp.control(modelo.lp1, sense="max")

Nesse comando, atribuímos ao modelo.lp1 o sentido de Maximização (isso é sense=''max'') para a função objetivo. Caso desejássemos Minimizar ao invés de maximizar escreveríamos sense=''min''. Como a função objetivo é escrita na forma $Minimize: Z=5x_{1} +6x_{2}$ devemos informar ao R que os coeficientes da função objetivo são, $5$ e $6$ respectivamente. Isso é feito por meio da seguinte sintaxe:

#Define a função objetivo
set.objfn(modelo.lp1, c(5,6))

Em seguida, como o problema pode assumir valores $x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0$ atribuímos os seguintes limites para as variáveis de decisão:

#Define os limites da região factível
set.bounds(modelo.lp1, lower = c(0,0), upper = c(Inf, Inf))

#Tipo das variáveis de decisão
set.type(modelo.lp1, c(1,2), type = c("real"))

No comando set.bounds informamos que a primeira variável possui limite inferior (lower) igual a zero e limite superior (upper) igual a infinito (Inf). O mesmo fazemos para a segunda variável, nesse caso dizemos que o limite inferior (lower) é igual a zero e o limite superior (upper) é igual a infinito (Inf). A ordem aqui importa, ou seja, caso a primeira variável estivesse contida entre zero e infinito e a segunda variável estivesse contida entre os valores 1 e 4 deveríamos escrever set.bounds(modelo.lp1, lower = c(0,1), upper = c(Inf, 4)). O comando set.type define o tipo de variável para cada uma das variáveis de decisão. É possível escolher as seguintes opções:

1. integer - A variável só pode assumir valores inteiros.
2. binary - A variável só pode assumir valores binários, isso é, 1 ou zero.
3. real - A variável pode assumir valores nos reais.

O comando set.type informa ao objeto modelo.lp1 que as variáveis $x_{1}$ e $x_{2}$ (c(1,2)) são números reais. Mas o comando anterior, set.bounds diz ao R que as variáveis devem estar entre 0 e $\infty$, portanto, $x_{1}\geq 0$ e $x_{2}\geq 0$. O passo 3 é responsável pela adição das restrições no problema de Programação Linear. Vamos então adicionar uma restrição de cada vez. A primeira restrição é dada por: $x_{1} \le 6$ a qual pode ser escrita na forma $ 1x_{1}+0x_{2} \le 6$. Assim, a adição dessa restrição no objeto modelo.lp1 é feita da seguinte forma:

#Define os coeficientes da primeira restrição
coef1 <- c(1,0)

#Adiciona a restrição
add.constraint(modelo.lp1, coef1, "<=", 6)

Para a segunda restrição $2x_{2} \le 12\Rightarrow 0x_{1}+2x_{2} \le 12$, a adição é feita da seguinte forma:

#Define os coeficientes da segunda restrição
coef2 <- c(0,2)

#Adiciona a restrição
add.constraint(modelo.lp1, coef2, "<=", 12)

Finalmente, a última restrição $3x_{1}+2x_{2}\le 18$ é adicionada fazendo-se:

#Define os coeficientes da terceira restrição
coef3 <- c(3,2)

#Adiciona a restrição
add.constraint(modelo.lp1, coef3, "<=", 18)

Uma vez que o problema tenha sido configurado, todas as informações associadas a ele estão armazenadas no objeto modelo.lp1. Podemos visualizar essas informações fazendo:

#Mostra as informações do modelo
print(modelo.lp1)

Podemos também visualizar esse problema, uma vez que é um problema bidimensional, isso é, contém somente duas variáveis de decisão:

#Plota a região factível
plot(modelo.lp1)

Finalmente, para resolvê-lo, fazemos:

#Resolve o problema primal
solve(modelo.lp1)
resultado<-get.primal.solution(modelo.lp1)
print(resultado)

Entretanto, como os resultados não estão em um formato muito explicativo, vamos transformá-los em uma tabela (isso é um data.frame) e colocar títulos nas linhas e nas colunas:

#Transforma o resultado em uma tabela
solucao<-as.data.frame(resultado)

#Coloca os nomes nas colunas e nas linhas da tabela
names(solucao)<-c("Valores")
rownames(solucao)<-c("Função Objetivo", "Variável de folga 1","Variável de folga 2",
"Variável de folga 3","Solução X1", "Solução X2")

#Mostra os resultados com os nomes
print(solucao)